小波基种类的全面解析

小波分析作为傅里叶分析的重要发展，在信号处理、图像分析、数据压缩等领域发挥着越来越重要的作用。小波基作为小波分析的核心，其种类繁多、性质各异，选择合适的小波基对于具体应用至关重要。

小波基的基本概念与数学定义

小波（Wavelet）从字面意义理解是"小的波"，它是一类具有波动性质且能量集中于有限时间区间内的函数。与傅里叶变换使用的正弦波不同，小波在时域和频域都具有良好的局部化性质，这使得它特别适合分析非平稳信号。

从数学角度看，函数 ψ(t) ∈ L²(ℝ) 称为小波基函数（母小波），需要满足严格的数学条件。零均值条件要求：

∫−∞∞ψ(t)dt=0\int_{-\infty}^{\infty} \psi(t) dt = 0∫−∞∞​ψ(t)dt=0

这等价于频域条件 ψ^(0)=0\hat{\psi}(0) = 0ψ^​(0)=0，保证了小波具有带通滤波特性。更一般地，消失矩条件要求：

∫−∞∞tkψ(t)dt=0,k=0,1,2,…,p−1\int_{-\infty}^{\infty} t^k \psi(t) dt = 0, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, p-1∫−∞∞​tkψ(t)dt=0,k=0,1,2,…,p−1

这等价于频域中的 dkψ^(ω)dωk∣ω=0=0\frac{d^k \hat{\psi}(\omega)}{d\omega^k}\bigg|_{\omega=0} = 0dωkdkψ^​(ω)​​ω=0​=0，其中p阶消失矩决定了小波的逼近能力。

有限能量条件要求：

∥ψ∥L2=(∫−∞∞∣ψ(t)∣2dt)1/2=1\|\psi\|_{L^2} = \left(\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(t)|^2 dt\right)^{1/2} = 1∥ψ∥L2​=(∫−∞∞​∣ψ(t)∣2dt)1/2=1

容许条件（Admissibility Condition）更为复杂：

Cψ=∫−∞∞∣ψ^(ω)∣2∣ω∣dω<∞C_\psi = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\hat{\psi}(\omega)|^2}{|\omega|} d\omega < \inftyCψ​=∫−∞∞​∣ω∣∣ψ^​(ω)∣2​dω<∞

这个条件不仅保证了连续小波变换的可逆性，还与小波的分析分辨率直接相关。对于实值小波，容许条件简化为：

Cψ=2∫0∞∣ψ^(ω)∣2ωdω<∞C_\psi = 2\int_{0}^{\infty} \frac{|\hat{\psi}(\omega)|^2}{\omega} d\omega < \inftyCψ​=2∫0∞​ω∣ψ^​(ω)∣2​dω<∞

通过仿射变换，母小波生成完整的小波族：

ψa,b(t)=1∣a∣ψ(t−ba)\psi_{a,b}(t) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \psi\left(\frac{t-b}{a}\right)ψa,b​(t)=∣a∣​1​ψ(at−b​)

其中尺度参数 a∈R+∖{0}a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{0\}a∈R+∖{0}，位移参数 b∈Rb \in \mathbb{R}b∈R。连续小波变换定义为：

Wf(a,b)=⟨f,ψa,b⟩=∫−∞∞f(t)ψa,b(t)‾dtW_f(a,b) = \langle f, \psi_{a,b} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \overline{\psi_{a,b}(t)} dtWf​(a,b)=⟨f,ψa,b​⟩=∫−∞∞​f(t)ψa,b​(t)​dt

重构公式展现了小波变换的完美可逆性：

f(t)=1Cψ∫−∞∞∫−∞∞Wf(a,b)ψa,b(t)da dba2f(t) = \frac{1}{C_\psi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} W_f(a,b) \psi_{a,b}(t) \frac{da \, db}{a^2}f(t)=Cψ​1​∫−∞∞​∫−∞∞​Wf​(a,b)ψa,b​(t)a2dadb​

多分辨率分析框架

小波理论的一个重要突破是Mallat和Meyer提出的多分辨率分析（MRA）框架。MRA将信号分解看作是通过一系列嵌套的子空间逐步逼近的过程：

{0}⊂⋯⊂V1⊂V0⊂V−1⊂⋯⊂L2(R)\{0\} \subset \cdots \subset V_1 \subset V_0 \subset V_{-1} \subset \cdots \subset L^2(\mathbb{R}){0}⊂⋯⊂V1​⊂V0​⊂V−1​⊂⋯⊂L2(R)

这些子空间需要满足以下七个公理：

单调性：Vj⊂Vj−1V_j \subset V_{j-1}Vj​⊂Vj−1​ 对所有 j∈Zj \in \mathbb{Z}j∈Z稠密性：⋃j∈ZVj‾=L2(R)\overline{\bigcup_{j \in \mathbb{Z}} V_j} = L^2(\mathbb{R})⋃j∈Z​Vj​​=L2(R)分离性：⋂j∈ZVj={0}\bigcap_{j \in \mathbb{Z}} V_j = \{0\}⋂j∈Z​Vj​={0}尺度不变性：f(t)∈Vj⇔f(2t)∈Vj−1f(t) \in V_j \Leftrightarrow f(2t) \in V_{j-1}f(t)∈Vj​⇔f(2t)∈Vj−1​平移不变性：f(t)∈V0⇒f(t−k)∈V0f(t) \in V_0 \Rightarrow f(t-k) \in V_0f(t)∈V0​⇒f(t−k)∈V0​ 对所有 k∈Zk \in \mathbb{Z}k∈ZRiesz基存在性：存在函数 ϕ∈V0\phi \in V_0ϕ∈V0​ 使得 {ϕ(t−k)}k∈Z\{\phi(t-k)\}_{k \in \mathbb{Z}}{ϕ(t−k)}k∈Z​ 构成 V0V_0V0​ 的Riesz基正交补分解：Vj−1=Vj⊕WjV_{j-1} = V_j \oplus W_jVj−1​=Vj​⊕Wj​

相邻分辨率之间的正交补空间 WjW_jWj​ 捕获了细节信息，满足：

Wi⊥Wj for i≠j,⨁j∈ZWj=L2(R)W_i \perp W_j \text{ for } i \neq j, \quad \bigoplus_{j \in \mathbb{Z}} W_j = L^2(\mathbb{R})Wi​⊥Wj​ for i=j,j∈Z⨁​Wj​=L2(R)

尺度函数 ϕ(t)\phi(t)ϕ(t) 满足双尺度方程（精化方程）：

ϕ(t)=2∑n∈Zhnϕ(2t−n)\phi(t) = \sqrt{2} \sum_{n \in \mathbb{Z}} h_n \phi(2t - n)ϕ(t)=2​n∈Z∑​hn​ϕ(2t−n)

其中 {hn}\{h_n\}{hn​} 是低通滤波器系数，满足归一化条件：

∑n∈Zhn=2\sum_{n \in \mathbb{Z}} h_n = \sqrt{2}n∈Z∑​hn​=2​

频域形式的双尺度方程为：

ϕ^(ω)=12H(ω2)ϕ^(ω2)\hat{\phi}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2}} H\left(\frac{\omega}{2}\right) \hat{\phi}\left(\frac{\omega}{2}\right)ϕ^​(ω)=2​1​H(2ω​)ϕ^​(2ω​)

其中 H(ω)=∑n∈Zhne−inωH(\omega) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} h_n e^{-in\omega}H(ω)=∑n∈Z​hn​e−inω 是低通滤波器的频率响应。

小波函数通过高通滤波器系数构造：

ψ(t)=2∑n∈Zgnϕ(2t−n)\psi(t) = \sqrt{2} \sum_{n \in \mathbb{Z}} g_n \phi(2t - n)ψ(t)=2​n∈Z∑​gn​ϕ(2t−n)

高通滤波器系数与低通系数的关系为：

gn=(−1)nh1−ng_n = (-1)^n h_{1-n}gn​=(−1)nh1−n​

这保证了正交性条件：

∑n∈Zhnhn+2k=δk,0,∑n∈Zgngn+2k=δk,0\sum_{n \in \mathbb{Z}} h_n h_{n+2k} = \delta_{k,0}, \quad \sum_{n \in \mathbb{Z}} g_n g_{n+2k} = \delta_{k,0}n∈Z∑​hn​hn+2k​=δk,0​,n∈Z∑​gn​gn+2k​=δk,0​

∑n∈Zhngn+2k=0\sum_{n \in \mathbb{Z}} h_n g_{n+2k} = 0n∈Z∑​hn​gn+2k​=0

多分辨率分析的核心在于信号的完全重构性质。对于 f∈L2(R)f \in L^2(\mathbb{R})f∈L2(R)，其在第j层的逼近和细节系数分别为：

aj,k=⟨f,ϕj,k⟩,dj,k=⟨f,ψj,k⟩a_{j,k} = \langle f, \phi_{j,k} \rangle, \quad d_{j,k} = \langle f, \psi_{j,k} \rangleaj,k​=⟨f,ϕj,k​⟩,dj,k​=⟨f,ψj,k​⟩

其中 ϕj,k(t)=2−j/2ϕ(2−jt−k)\phi_{j,k}(t) = 2^{-j/2}\phi(2^{-j}t - k)ϕj,k​(t)=2−j/2ϕ(2−jt−k)，ψj,k(t)=2−j/2ψ(2−jt−k)\psi_{j,k}(t) = 2^{-j/2}\psi(2^{-j}t - k)ψj,k​(t)=2−j/2ψ(2−jt−k)。

完全重构公式为：

f(t)=∑k∈ZaJ,kϕJ,k(t)+∑j=J∞∑k∈Zdj,kψj,k(t)f(t) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_{J,k} \phi_{J,k}(t) + \sum_{j=J}^{\infty} \sum_{k \in \mathbb{Z}} d_{j,k} \psi_{j,k}(t)f(t)=k∈Z∑​aJ,k​ϕJ,k​(t)+j=J∑∞​k∈Z∑​dj,k​ψj,k​(t)

这种分解的收敛性由Plancherel定理保证：

∥f∥2=∑k∈Z∣aJ,k∣2+∑j=J∞∑k∈Z∣dj,k∣2\|f\|^2 = \sum_{k \in \mathbb{Z}} |a_{J,k}|^2 + \sum_{j=J}^{\infty} \sum_{k \in \mathbb{Z}} |d_{j,k}|^2∥f∥2=k∈Z∑​∣aJ,k​∣2+j=J∑∞​k∈Z∑​∣dj,k​∣2

主要小波基类型详解

Haar小波：最简单的正交小波

Haar小波是最早也是最简单的小波基，由匈牙利数学家Alfred Haar在1910年提出。其数学表达式极其简洁：

ψ(t)=1,0≤t<1/2;−1,1/2≤t<1;0,其他ψ(t) = {1, 0 ≤ t < 1/2; -1, 1/2 ≤ t < 1; 0, 其他}ψ(t)=1,0≤t<1/2;−1,1/2≤t<1;0,其他

尺度函数为：φ(t) = {1, 0 ≤ t < 1; 0, 其他}

Haar小波的独特之处在于它是唯一同时具有紧支撑、正交性和对称性的小波。其支撑长度仅为1，计算极其简单，只需要加减运算。然而，Haar小波在频域的衰减较慢（仅为O(1/ω)），且只有一阶消失矩，这限制了它在需要高阶逼近的应用中的表现。尽管简单，Haar小波在许多实际应用中仍然非常有效。在图像压缩中，它能快速捕捉边缘信息；在信号分析中，它适合检测突变点。其计算效率使它成为实时处理系统的首选。

Daubechies小波系列：紧支撑正交小波的典范

Ingrid Daubechies在1988年构造的小波系列是小波理论的里程碑。Daubechies小波（简称dbN）实现了紧支撑和正交性的完美结合，其中N表示消失矩的阶数。

dbN小波的构造基于一个巧妙的数学框架。其低通滤波器 H(ω)H(\omega)H(ω) 具有特殊形式：

H(ω)=(1+e−iω2)NR(ω)H(\omega) = \left(\frac{1+e^{-i\omega}}{2}\right)^N R(\omega)H(ω)=(21+e−iω​)NR(ω)

其中 R(ω)R(\omega)R(ω) 是一个三角多项式，满足Bezout方程：

∣R(ω)∣2+∣R(ω+π)∣2=2|R(\omega)|^2 + |R(\omega + \pi)|^2 = 2∣R(ω)∣2+∣R(ω+π)∣2=2

对于dbN小波，需要求解以下优化问题：

min⁡R∫−ππω2s∣H(ω)∣2dω\min_{R} \int_{-\pi}^{\pi} \omega^{2s} |H(\omega)|^2 d\omegaRmin​∫−ππ​ω2s∣H(ω)∣2dω

在约束条件：

∣H(ω)∣2+∣H(ω+π)∣2=1|H(\omega)|^2 + |H(\omega + \pi)|^2 = 1∣H(ω)∣2+∣H(ω+π)∣2=1

H(k)(π)=0,k=0,1,…,N−1H^{(k)}(\pi) = 0, \quad k = 0, 1, \ldots, N-1H(k)(π)=0,k=0,1,…,N−1

这导致了著名的Daubechies多项式：

P(y)=∑k=0N−1(N−1+kk)ykP(y) = \sum_{k=0}^{N-1} \binom{N-1+k}{k} y^kP(y)=k=0∑N−1​(kN−1+k​)yk

其中 y=sin⁡2(ω/2)y = \sin^2(\omega/2)y=sin2(ω/2)，且 ∣H(ω)∣2=P(sin⁡2(ω/2))|H(\omega)|^2 = P(\sin^2(\omega/2))∣H(ω)∣2=P(sin2(ω/2))。

db4小波的精确滤波器系数为：

h0=1+342,h1=3+342h_0 = \frac{1+\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}, \quad h_1 = \frac{3+\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}h0​=42​1+3​​,h1​=42​3+3​​

h2=3−342,h3=1−342h_2 = \frac{3-\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}, \quad h_3 = \frac{1-\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}h2​=42​3−3​​,h3​=42​1−3​​

相应的小波函数通过迭代算法计算：

ψ(t)=2∑n=03(−1)nh3−nϕ(2t−n)\psi(t) = \sqrt{2} \sum_{n=0}^{3} (-1)^n h_{3-n} \phi(2t - n)ψ(t)=2​n=0∑3​(−1)nh3−n​ϕ(2t−n)

db4小波的频域特性由以下关系式描述：

∣ψ^(ω)∣2=sin⁡8(ω/2)∣∑k=03hke−ikω/2∣2|\hat{\psi}(\omega)|^2 = \sin^8(\omega/2) \left|\sum_{k=0}^{3} h_k e^{-ik\omega/2}\right|^2∣ψ^​(ω)∣2=sin8(ω/2)​k=0∑3​hk​e−ikω/2​2

其时频不确定性乘积接近海森堡不确定性原理的下界：

Δt⋅Δω≥12\Delta t \cdot \Delta \omega \geq \frac{1}{2}Δt⋅Δω≥21​

对于dbN小波，支撑长度为 2N−12N-12N−1，Hölder正则性指数 α\alphaα 满足：

α≥0.2N−C\alpha \geq 0.2 N - Cα≥0.2N−C

其中C是与N无关的常数。具体地，正则性可通过谱半径计算：

α=−log⁡2ρ(T0)\alpha = -\log_2 \rho(T_0)α=−log2​ρ(T0​)

其中 T0T_0T0​ 是过渡算子，ρ\rhoρ 表示谱半径。

Symlets小波：追求对称性的改进

Symlets（symN）是Daubechies小波的改进版本，通过优化滤波器系数的选择，使小波函数尽可能接近对称。虽然理论证明除Haar小波外，紧支撑正交小波不可能完全对称，但Symlets实现了 近似对称性。

Symlets的构造基于最小相位偏差准则。对于给定的消失矩阶数N，存在多个满足Daubechies约束的滤波器解。Symlets通过以下优化准则选择最对称的解：

min⁡∑kk2∣hk∣2\min \sum_{k} k^2 |h_k|^2mink∑​k2∣hk​∣2

这个准则等价于最小化滤波器的"重心"：

kˉ=∑kk∣hk∣2∑k∣hk∣2\bar{k} = \frac{\sum_k k |h_k|^2}{\sum_k |h_k|^2}kˉ=∑k​∣hk​∣2∑k​k∣hk​∣2​

对于sym8小波，其滤波器系数为：

h0=0.0032054,h1=−0.0126113h_0 = 0.0032054, \quad h_1 = -0.0126113h0​=0.0032054,h1​=−0.0126113

h2=0.0302248,h3=0.0261771h_2 = 0.0302248, \quad h_3 = 0.0261771h2​=0.0302248,h3​=0.0261771

h4=−0.0947047,h5=−0.0166362h_4 = -0.0947047, \quad h_5 = -0.0166362h4​=−0.0947047,h5​=−0.0166362

h6=0.4913717,h7=0.7876411h_6 = 0.4913717, \quad h_7 = 0.7876411h6​=0.4913717,h7​=0.7876411

h8=0.3379294,h9=−0.0726408h_8 = 0.3379294, \quad h_9 = -0.0726408h8​=0.3379294,h9​=−0.0726408

h10=−0.0210772,h11=0.0447249h_{10} = -0.0210772, \quad h_{11} = 0.0447249h10​=−0.0210772,h11​=0.0447249

h12=0.0017677,h13=−0.0078007h_{12} = 0.0017677, \quad h_{13} = -0.0078007h12​=0.0017677,h13​=−0.0078007

h14=0.0003788,h15=0.0001344h_{14} = 0.0003788, \quad h_{15} = 0.0001344h14​=0.0003788,h15​=0.0001344

Symlets的近似对称性可以通过对称性度量来量化：

S=∑k∣hk−hL−1−k∣∑k∣hk∣S = \frac{\sum_k |h_k - h_{L-1-k}|}{\sum_k |h_k|}S=∑k​∣hk​∣∑k​∣hk​−hL−1−k​∣​

其中L是滤波器长度。对于完全对称的滤波器，S=0S = 0S=0；对于Daubechies小波，SSS 通常较大；而Symlets的 SSS 值显著减小。

相位响应的线性度可以通过群延迟的变化来衡量：

τg(ω)=−ddωarg⁡(H(ω))\tau_g(\omega) = -\frac{d}{d\omega} \arg(H(\omega))τg​(ω)=−dωd​arg(H(ω))

理想线性相位滤波器的群延迟为常数。Symlets的群延迟变化比相应的Daubechies小波小约30-50%。

在图像处理应用中，Symlets的近似对称性转化为更好的视觉效果。边缘附近的Gibbs振荡现象得到显著抑制，重构图像的主观质量明显改善。

Symlets的频域特性表现为更平坦的通带响应：

∣H(ω)∣2≈1,∣ω∣<ωc|H(\omega)|^2 \approx 1, \quad |\omega| < \omega_c∣H(ω)∣2≈1,∣ω∣<ωc​

其中截止频率 ωc≈π/3\omega_c \approx \pi/3ωc​≈π/3。阻带衰减特性与Daubechies小波相似，保持了良好的频率选择性。

构造Symlets的另一种方法是通过最小相位提取。给定Daubechies多项式 P(z)P(z)P(z)，可以分解为最小相位部分和最大相位部分：

P(z)=Pmin⁡(z)Pmax⁡(z)P(z) = P_{\min}(z) P_{\max}(z)P(z)=Pmin​(z)Pmax​(z)

Symlets对应于在所有可能的分解中选择相位最接近线性的那个。

Coiflets小波：双重消失矩设计

Coiflets（coifN）是应Coifman的要求设计的特殊小波，其独特之处在于不仅小波函数具有消失矩，尺度函数也具有消失矩。具体来说，coifN的小波函数有2N阶消失矩，尺度函数有2N-1阶消失矩。

Coiflets的构造基于扩展的约束系统。对于coifN，需要满足：

小波消失矩条件：

∫−∞∞tkψ(t)dt=0,k=0,1,…,2N−1\int_{-\infty}^{\infty} t^k \psi(t) dt = 0, \quad k = 0, 1, \ldots, 2N-1∫−∞∞​tkψ(t)dt=0,k=0,1,…,2N−1

尺度函数消失矩条件：

∫−∞∞tkϕ(t)dt=0,k=1,2,…,2N−1\int_{-\infty}^{\infty} t^k \phi(t) dt = 0, \quad k = 1, 2, \ldots, 2N-1∫−∞∞​tkϕ(t)dt=0,k=1,2,…,2N−1

归一化条件：

∫−∞∞ϕ(t)dt=1\int_{-\infty}^{\infty} \phi(t) dt = 1∫−∞∞​ϕ(t)dt=1

这些条件在频域中转化为：

dkψ^(ω)dωk∣ω=0=0,k=0,1,…,2N−1\frac{d^k \hat{\psi}(\omega)}{d\omega^k}\bigg|_{\omega=0} = 0, \quad k = 0, 1, \ldots, 2N-1dωkdkψ^​(ω)​​ω=0​=0,k=0,1,…,2N−1

dkϕ^(ω)dωk∣ω=0=0,k=1,2,…,2N−1\frac{d^k \hat{\phi}(\omega)}{d\omega^k}\bigg|_{\omega=0} = 0, \quad k = 1, 2, \ldots, 2N-1dωkdkϕ^​(ω)​​ω=0​=0,k=1,2,…,2N−1$

ϕ^(0)=2π\hat{\phi}(0) = \sqrt{2\pi}ϕ^​(0)=2π​

对于低通滤波器 H(ω)H(\omega)H(ω)，这些条件意味着：

H(k)(π)=0,k=0,1,…,2N−1H^{(k)}(\pi) = 0, \quad k = 0, 1, \ldots, 2N-1H(k)(π)=0,k=0,1,…,2N−1

H(k)(0)=0,k=1,2,…,2N−1H^{(k)}(0) = 0, \quad k = 1, 2, \ldots, 2N-1H(k)(0)=0,k=1,2,…,2N−1

H(0)=2H(0) = \sqrt{2}H(0)=2​

Coiflet3的滤波器系数为：

h0=−0.0156557281,h1=−0.0727326195h_0 = -0.0156557281, \quad h_1 = -0.0727326195h0​=−0.0156557281,h1​=−0.0727326195

h2=0.3848648469,h3=0.8525720202h_2 = 0.3848648469, \quad h_3 = 0.8525720202h2​=0.3848648469,h3​=0.8525720202

h4=0.3378976625,h5=−0.0727326195h_4 = 0.3378976625, \quad h_5 = -0.0727326195h4​=0.3378976625,h5​=−0.0727326195

由于对称性：hk=h17−kh_k = h_{17-k}hk​=h17−k​。

Coiflets的支撑长度为 6N−16N-16N−1，比相同消失矩阶数的Daubechies小波要长。例如，coif3的支撑长度为17，而具有相同6阶消失矩的db6支撑长度仅为11。

这种双重消失矩设计的优势在于数值积分的精确性。对于函数 f(t)f(t)f(t)，其在coiflet基下的近似可以通过简单的采样值计算：

⟨f,ϕj,k⟩≈2−j/2f(2−jk)\langle f, \phi_{j,k} \rangle \approx 2^{-j/2} f(2^{-j}k)⟨f,ϕj,k​⟩≈2−j/2f(2−jk)

误差分析表明，这种近似的误差为 O(2−j(2N−1))O(2^{-j(2N-1)})O(2−j(2N−1))，这在有限元方法和数值分析中特别有用。

Coiflets的频率响应具有近似线性相位特性，其相位偏差可以通过以下表达式量化：

Δϕ(ω)=arg⁡(H(ω))−(L−1)ω2\Delta\phi(\omega) = \arg(H(\omega)) - \frac{(L-1)\omega}{2}Δϕ(ω)=arg(H(ω))−2(L−1)ω​

其中 LLL 是滤波器长度。对于coif3，相位偏差在通带内保持在 ±0.1\pm 0.1±0.1 弧度以内。

Biorthogonal小波：线性相位的实现

双正交小波突破了正交性的限制，通过使用两套不同的小波基（分析小波和综合小波）来实现完美重构。这种设计的最大优势是可以构造对称的小波函数，从而实现线性相位滤波器。

双正交小波系统包含四个函数：分解尺度函数 ϕ\phiϕ、分解小波 ψ\psiψ、重构尺度函数 ϕ~\tilde{\phi}ϕ~​ 和重构小波 ψ~\tilde{\psi}ψ~​。它们满足双正交条件：

⟨ϕ(x−k),ϕ~(x−l)⟩=δk,l\langle \phi(x-k), \tilde{\phi}(x-l) \rangle = \delta_{k,l}⟨ϕ(x−k),ϕ~​(x−l)⟩=δk,l​

⟨ψ(x−k),ψ~(x−l)⟩=δk,l\langle \psi(x-k), \tilde{\psi}(x-l) \rangle = \delta_{k,l}⟨ψ(x−k),ψ~​(x−l)⟩=δk,l​

⟨ϕ(x−k),ψ~(x−l)⟩=0\langle \phi(x-k), \tilde{\psi}(x-l) \rangle = 0⟨ϕ(x−k),ψ~​(x−l)⟩=0

相应的双尺度方程为：

ϕ(t)=2∑khkϕ(2t−k),ϕ~(t)=2∑kh~kϕ~(2t−k)\phi(t) = \sqrt{2} \sum_k h_k \phi(2t - k), \quad \tilde{\phi}(t) = \sqrt{2} \sum_k \tilde{h}_k \tilde{\phi}(2t - k)ϕ(t)=2​k∑​hk​ϕ(2t−k),ϕ~​(t)=2​k∑​h~k​ϕ~​(2t−k)

ψ(t)=2∑kgkϕ(2t−k),ψ~(t)=2∑kg~kϕ~(2t−k)\psi(t) = \sqrt{2} \sum_k g_k \phi(2t - k), \quad \tilde{\psi}(t) = \sqrt{2} \sum_k \tilde{g}_k \tilde{\phi}(2t - k)ψ(t)=2​k∑​gk​ϕ(2t−k),ψ~​(t)=2​k∑​g~​k​ϕ~​(2t−k)

滤波器系数之间的关系为：

gk=(−1)kh~1−k,g~k=(−1)kh1−kg_k = (-1)^k \tilde{h}_{1-k}, \quad \tilde{g}_k = (-1)^k h_{1-k}gk​=(−1)kh~1−k​,g~​k​=(−1)kh1−k​

完美重构条件在频域表示为：

H(ω)H~(ω)+G(ω)G~(ω)=1H(\omega)\tilde{H}(\omega) + G(\omega)\tilde{G}(\omega) = 1H(ω)H~(ω)+G(ω)G~(ω)=1

H(ω)H~(ω+π)+G(ω)G~(ω+π)=0H(\omega)\tilde{H}(\omega + \pi) + G(\omega)\tilde{G}(\omega + \pi) = 0H(ω)H~(ω+π)+G(ω)G~(ω+π)=0

对于对称滤波器，可以利用线性相位性质：

H(ω)=e−iω(N−1)/2HR(ω)H(\omega) = e^{-i\omega(N-1)/2} H_R(\omega)H(ω)=e−iω(N−1)/2HR​(ω)

其中 HR(ω)H_R(\omega)HR​(ω) 是实函数，NNN 是滤波器长度。

CDF 9/7小波的具体系数为：

h0=h8=0.037828455507,h1=h7=−0.023849465019h_0 = h_8 = 0.037828455507, \quad h_1 = h_7 = -0.023849465019h0​=h8​=0.037828455507,h1​=h7​=−0.023849465019

h2=h6=−0.110624404418,h3=h5=0.377402855613h_2 = h_6 = -0.110624404418, \quad h_3 = h_5 = 0.377402855613h2​=h6​=−0.110624404418,h3​=h5​=0.377402855613

h4=0.852698679009h_4 = 0.852698679009h4​=0.852698679009

其分解小波具有4阶消失矩，重构小波具有4阶消失矩，实现了压缩性能和计算效率的平衡。

双正交小波的Riesz界限为：

A∥{ck}∥2≤∥∑kckϕ(x−k)∥2≤B∥{ck}∥2A \|\{c_k\}\|^2 \leq \left\|\sum_k c_k \phi(x-k)\right\|^2 \leq B \|\{c_k\}\|^2A∥{ck​}∥2≤​k∑​ck​ϕ(x−k)​2≤B∥{ck​}∥2

其中 A=min⁡ω∣H(ω)∣2A = \min_\omega |H(\omega)|^2A=minω​∣H(ω)∣2，B=max⁡ω∣H(ω)∣2B = \max_\omega |H(\omega)|^2B=maxω​∣H(ω)∣2。

Meyer小波：频域设计的典范

Meyer小波是第一个在频域构造的正交小波，具有无限正则性但支撑无限。其频域定义使用了精心设计的过渡函数，确保了频域的紧支撑特性。

Meyer小波的频域表达式为：

ψ^(ω)={12πeiω/2sin⁡(π2ν(3∣ω∣2π−1))if 2π3≤∣ω∣≤4π312πeiω/2cos⁡(π2ν(3∣ω∣4π−1))if 4π3≤∣ω∣≤8π30otherwise\hat{\psi}(\omega) = \begin{cases}

\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{i\omega/2} \sin\left(\frac{\pi}{2} \nu\left(\frac{3|\omega|}{2\pi} - 1\right)\right) & \text{if } \frac{2\pi}{3} \leq |\omega| \leq \frac{4\pi}{3} \\

\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{i\omega/2} \cos\left(\frac{\pi}{2} \nu\left(\frac{3|\omega|}{4\pi} - 1\right)\right) & \text{if } \frac{4\pi}{3} \leq |\omega| \leq \frac{8\pi}{3} \\

0 & \text{otherwise}

\end{cases}ψ^​(ω)=⎩⎨⎧​2π​1​eiω/2sin(2π​ν(2π3∣ω∣​−1))2π​1​eiω/2cos(2π​ν(4π3∣ω∣​−1))0​if 32π​≤∣ω∣≤34π​if 34π​≤∣ω∣≤38π​otherwise​

其中辅助函数 ν(x)\nu(x)ν(x) 定义为：

ν(x)={0if x≤035x4−84x5+70x6−20x7if 0

0 & \text{if } x \leq 0 \\

35x^4 - 84x^5 + 70x^6 - 20x^7 & \text{if } 0 < x < 1 \\

1 & \text{if } x \geq 1

\end{cases}ν(x)=⎩⎨⎧​035x4−84x5+70x6−20x71​if x≤0if 0

这个函数满足关键性质：

ν(x)+ν(1−x)=1,ν(k)(0)=ν(k)(1)=0,k=0,1,2,3\nu(x) + \nu(1-x) = 1, \quad \nu^{(k)}(0) = \nu^{(k)}(1) = 0, \quad k = 0,1,2,3ν(x)+ν(1−x)=1,ν(k)(0)=ν(k)(1)=0,k=0,1,2,3

相应的尺度函数在频域中定义为：

ϕ^(ω)={12πif ∣ω∣≤2π312πcos⁡(π2ν(3∣ω∣2π−1))if 2π3≤∣ω∣≤4π30if ∣ω∣≥4π3\hat{\phi}(\omega) = \begin{cases}

\frac{1}{\sqrt{2\pi}} & \text{if } |\omega| \leq \frac{2\pi}{3} \\

\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cos\left(\frac{\pi}{2} \nu\left(\frac{3|\omega|}{2\pi} - 1\right)\right) & \text{if } \frac{2\pi}{3} \leq |\omega| \leq \frac{4\pi}{3} \\

0 & \text{if } |\omega| \geq \frac{4\pi}{3}

\end{cases}ϕ^​(ω)=⎩⎨⎧​2π​1​2π​1​cos(2π​ν(2π3∣ω∣​−1))0​if ∣ω∣≤32π​if 32π​≤∣ω∣≤34π​if ∣ω∣≥34π​​

Meyer小波的时域表达式虽然复杂，但具有快速衰减特性：

∣ψ(t)∣≤C(1+∣t∣)N|\psi(t)| \leq \frac{C}{(1+|t|)^N}∣ψ(t)∣≤(1+∣t∣)NC​

对任意正整数 NNN，这种超代数衰减使得Meyer小波在实际应用中表现出准紧支撑性质。

正交性在频域中表现为：

∣ϕ^(ω)∣2+∣ϕ^(2ω)∣2=1,∣ω∣≤2π3|\hat{\phi}(\omega)|^2 + |\hat{\phi}(2\omega)|^2 = 1, \quad |\omega| \leq \frac{2\pi}{3}∣ϕ^​(ω)∣2+∣ϕ^​(2ω)∣2=1,∣ω∣≤32π​

Meyer小波的低通滤波器频率响应为：

H(ω)=e−iω/2ϕ^(ω/2)ϕ^(ω)H(\omega) = e^{-i\omega/2} \frac{\hat{\phi}(\omega/2)}{\hat{\phi}(\omega)}H(ω)=e−iω/2ϕ^​(ω)ϕ^​(ω/2)​

其时频局部化性质优异，时频窗面积接近理论下界：

Δt⋅Δω≈0.5001\Delta t \cdot \Delta \omega \approx 0.5001Δt⋅Δω≈0.5001

Meyer小波族可以通过参数化生成，改变过渡区间的宽度来调节时频局部化特性。

Morlet小波：时频分析的理想工具

Morlet小波是复数小波的代表，由高斯窗调制的复指数构成。其标准形式为：

ψ(t)=1π4e−t2/2eiω0t\psi(t) = \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}} e^{-t^2/2} e^{i\omega_0 t}ψ(t)=4π​1​e−t2/2eiω0​t

为满足零均值条件，修正的Morlet小波为：

ψ(t)=1π4e−t2/2(eiω0t−e−ω02/2)\psi(t) = \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}} e^{-t^2/2} \left(e^{i\omega_0 t} - e^{-\omega_0^2/2}\right)ψ(t)=4π​1​e−t2/2(eiω0​t−e−ω02​/2)

当 ω0≥5\omega_0 \geq 5ω0​≥5 时，修正项 e−ω02/2e^{-\omega_0^2/2}e−ω02​/2 可以忽略。

Morlet小波的频域表达式为：

ψ^(ω)=2π⋅π4⋅e−(ω−ω0)2/2\hat{\psi}(\omega) = \sqrt{2\pi} \cdot \sqrt[4]{\pi} \cdot e^{-(\omega-\omega_0)^2/2}ψ^​(ω)=2π​⋅4π​⋅e−(ω−ω0​)2/2

其时频局部化性质可通过二阶矩量化：

Δt=12,Δω=12\Delta t = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \Delta \omega = \frac{1}{\sqrt{2}}Δt=2​1​,Δω=2​1​

因此，Morlet小波实现了Gabor-Heisenberg不确定性原理的最优值：

Δt⋅Δω=12\Delta t \cdot \Delta \omega = \frac{1}{2}Δt⋅Δω=21​

对于连续小波变换，Morlet小波的容许常数为：

Cψ=∫−∞∞∣ψ^(ω)∣2∣ω∣dω=2πC_\psi = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\hat{\psi}(\omega)|^2}{|\omega|} d\omega = 2\piCψ​=∫−∞∞​∣ω∣∣ψ^​(ω)∣2​dω=2π

Morlet小波的实部和虚部分别为：

Re[ψ(t)]=1π4e−t2/2cos⁡(ω0t)\text{Re}[\psi(t)] = \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}} e^{-t^2/2} \cos(\omega_0 t)Re[ψ(t)]=4π​1​e−t2/2cos(ω0​t)

Im[ψ(t)]=1π4e−t2/2sin⁡(ω0t)\text{Im}[\psi(t)] = \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}} e^{-t^2/2} \sin(\omega_0 t)Im[ψ(t)]=4π​1​e−t2/2sin(ω0​t)

对于信号 f(t)f(t)f(t)，其Morlet小波变换提供了幅度和相位信息：

Wf(a,b)=∣Wf(a,b)∣eiϕf(a,b)W_f(a,b) = |W_f(a,b)| e^{i\phi_{f}(a,b)}Wf​(a,b)=∣Wf​(a,b)∣eiϕf​(a,b)

其中瞬时频率定义为：

ωinst(a,b)=∂ϕf(a,b)∂b\omega_{\text{inst}}(a,b) = \frac{\partial \phi_f(a,b)}{\partial b}ωinst​(a,b)=∂b∂ϕf​(a,b)​

Morlet小波的尺度-频率关系为：

fc=ω02πaf_c = \frac{\omega_0}{2\pi a}fc​=2πaω0​​

其中 fcf_cfc​ 是中心频率，aaa 是尺度参数。这种线性关系使得Morlet小波在时频分析中具有恒定的相对带宽：

Δffc=1ω0\frac{\Delta f}{f_c} = \frac{1}{\omega_0}fc​Δf​=ω0​1​

重构公式考虑了复小波的特殊性：

f(t)=1CψRe[∫0∞∫−∞∞Wf(a,b)ψa,b(t)da dba2]f(t) = \frac{1}{C_\psi} \text{Re}\left[\int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} W_f(a,b) \psi_{a,b}(t) \frac{da \, db}{a^2}\right]f(t)=Cψ​1​Re[∫0∞​∫−∞∞​Wf​(a,b)ψa,b​(t)a2dadb​]

Mexican Hat小波：边缘检测的天然工具

Mexican Hat小波（也称Ricker小波）是高斯函数的归一化二阶导数，具有严格的数学定义：

ψ(t)=23σπ1/4(1−t2σ2)e−t2/(2σ2)\psi(t) = \frac{2}{\sqrt{3\sigma}\pi^{1/4}} \left(1 - \frac{t^2}{\sigma^2}\right) e^{-t^2/(2\sigma^2)}ψ(t)=3σ​π1/42​(1−σ2t2​)e−t2/(2σ2)

标准化形式（σ=1\sigma = 1σ=1）为：

ψ(t)=23π1/4(1−t2)e−t2/2\psi(t) = \frac{2}{\sqrt{3}\pi^{1/4}} \left(1 - t^2\right) e^{-t^2/2}ψ(t)=3​π1/42​(1−t2)e−t2/2

其频域表达式为：

ψ^(ω)=22π3π1/4ω2e−ω2/2\hat{\psi}(\omega) = \frac{2\sqrt{2\pi}}{\sqrt{3}\pi^{1/4}} \omega^2 e^{-\omega^2/2}ψ^​(ω)=3​π1/422π​​ω2e−ω2/2

Mexican Hat小波与高斯函数的导数关系可表示为：

ψ(t)=−d2dt2g(t)\psi(t) = -\frac{d^2}{dt^2} g(t)ψ(t)=−dt2d2​g(t)

其中 g(t)=12πσ2e−t2/(2σ2)g(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-t^2/(2\sigma^2)}g(t)=2πσ2​1​e−t2/(2σ2) 是标准高斯函数。

作为实偶函数，Mexican Hat小波具有二阶消失矩：

∫−∞∞tkψ(t)dt=0,k=0,1\int_{-\infty}^{\infty} t^k \psi(t) dt = 0, \quad k = 0, 1∫−∞∞​tkψ(t)dt=0,k=0,1

其时频局部化特性由以下参数描述：

Δt=2σ23,Δω=32σ2\Delta t = \sqrt{\frac{2\sigma^2}{3}}, \quad \Delta \omega = \sqrt{\frac{3}{2\sigma^2}}Δt=32σ2​​,Δω=2σ23​​

时频不确定性乘积为：

Δt⋅Δω=1\Delta t \cdot \Delta \omega = 1Δt⋅Δω=1

Mexican Hat小波的容许常数为：

Cψ=∫0∞∣ψ^(ω)∣2ωdω=82π33π1/4∫0∞ω3e−ω2dω=42π33π1/4C_\psi = \int_{0}^{\infty} \frac{|\hat{\psi}(\omega)|^2}{\omega} d\omega = \frac{8\sqrt{2\pi}}{3\sqrt{3}\pi^{1/4}} \int_{0}^{\infty} \omega^3 e^{-\omega^2} d\omega = \frac{4\sqrt{2\pi}}{3\sqrt{3}\pi^{1/4}}Cψ​=∫0∞​ω∣ψ^​(ω)∣2​dω=33​π1/482π​​∫0∞​ω3e−ω2dω=33​π1/442π​​

在二维情况下，Mexican Hat小波扩展为：

ψ(x,y)=12πσ4(2−x2+y2σ2)e−(x2+y2)/(2σ2)\psi(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma^4} \left(2 - \frac{x^2 + y^2}{\sigma^2}\right) e^{-(x^2+y^2)/(2\sigma^2)}ψ(x,y)=2πσ41​(2−σ2x2+y2​)e−(x2+y2)/(2σ2)

这相当于拉普拉斯算子作用于二维高斯函数：

ψ(x,y)=−∇2g(x,y)\psi(x,y) = -\nabla^2 g(x,y)ψ(x,y)=−∇2g(x,y)

其中 ∇2=∂2∂x2+∂2∂y2\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}∇2=∂x2∂2​+∂y2∂2​ 是拉普拉斯算子。

Mexican Hat小波的极值点位于：

t=±σt = \pm\sigmat=±σ

对应的极值为：

ψ(±σ)=±23σπ1/4⋅1e\psi(\pm\sigma) = \pm\frac{2}{\sqrt{3\sigma}\pi^{1/4}} \cdot \frac{1}{e}ψ(±σ)=±3σ​π1/42​⋅e1​

其形状参数与尺度的关系使得该小波特别适合多尺度边缘检测，其检测响应与边缘的二阶导数成正比。

复小波基：克服实小波的局限

复小波相比实小波具有诸多优势：提供相位信息、减少振荡、改善平移不变性。双树复小波变换（DTCWT） 是实现复小波变换的高效方法，通过两个并行的实DWT计算得到复变换的实部和虚部。

DTCWT的核心思想是构造两个实小波变换 TaT_aTa​ 和 TbT_bTb​，使得：

Tc=Ta+iTbT_c = T_a + iT_bTc​=Ta​+iTb​

形成解析小波变换。两个变换树的滤波器需要满足特殊的设计约束。

对于第一层滤波器，需要满足：

Ha(ω)=Hb(ω+π)H_a(\omega) = H_b(\omega + \pi)Ha​(ω)=Hb​(ω+π)

这保证了在第一层就开始形成希尔伯特变换对。

对于更高层滤波器，需要满足近似希尔伯特变换对条件：

Ha(ω)≈Hb(ω)eiπ/2H_a(\omega) \approx H_b(\omega) e^{i\pi/2}Ha​(ω)≈Hb​(ω)eiπ/2

具体地，Kingsbury的Q-shift滤波器设计使用了以下构造：

第一层滤波器：

h0(a)={0,−0.08838,0.08838,0.69587,0.69587,0.08838,−0.08838,0.01122,0.01122}h_0^{(a)} = \{0, -0.08838, 0.08838, 0.69587, 0.69587, 0.08838, -0.08838, 0.01122, 0.01122\}h0(a)​={0,−0.08838,0.08838,0.69587,0.69587,0.08838,−0.08838,0.01122,0.01122}

h0(b)={0.01122,0.01122,−0.08838,0.08838,0.69587,0.69587,0.08838,−0.08838,0}h_0^{(b)} = \{0.01122, 0.01122, -0.08838, 0.08838, 0.69587, 0.69587, 0.08838, -0.08838, 0\}h0(b)​={0.01122,0.01122,−0.08838,0.08838,0.69587,0.69587,0.08838,−0.08838,0}

更高层滤波器：

h(a)={0.03516,−0.08832,−0.13501,0.45987,0.80689,0.33267,−0.03516}h^{(a)} = \{0.03516, -0.08832, -0.13501, 0.45987, 0.80689, 0.33267, -0.03516\}h(a)={0.03516,−0.08832,−0.13501,0.45987,0.80689,0.33267,−0.03516}

h(b)={−0.03516,0.33267,0.80689,0.45987,−0.13501,−0.08832,0.03516}h^{(b)} = \{-0.03516, 0.33267, 0.80689, 0.45987, -0.13501, -0.08832, 0.03516\}h(b)={−0.03516,0.33267,0.80689,0.45987,−0.13501,−0.08832,0.03516}

DTCWT的复小波变换表示为：

Wc(j,k)=Wa(j,k)+iWb(j,k)W_c(j,k) = W_a(j,k) + iW_b(j,k)Wc​(j,k)=Wa​(j,k)+iWb​(j,k)

其中 WaW_aWa​ 和 WbW_bWb​ 分别是两个实变换树的输出。

复小波变换的幅度和相位为：

∣Wc(j,k)∣=Wa(j,k)2+Wb(j,k)2|W_c(j,k)| = \sqrt{W_a(j,k)^2 + W_b(j,k)^2}∣Wc​(j,k)∣=Wa​(j,k)2+Wb​(j,k)2​

arg⁡(Wc(j,k))=arctan⁡(Wb(j,k)Wa(j,k))\arg(W_c(j,k)) = \arctan\left(\frac{W_b(j,k)}{W_a(j,k)}\right)arg(Wc​(j,k))=arctan(Wa​(j,k)Wb​(j,k)​)

DTCWT的近似平移不变性通过以下关系实现：

Wc(j,k)≈Wc(j,k+δ)ei2πδ/2jW_c(j,k) \approx W_c(j,k+\delta) e^{i2\pi\delta/2^j}Wc​(j,k)≈Wc​(j,k+δ)ei2πδ/2j

对于二维DTCWT，使用分离变量技术可以得到6个方向的复小波：

ψd(2D)(x,y)=ψh(1D)(x)ψg(1D)(y),d=1,2,…,6\psi_{d}^{(2D)}(x,y) = \psi_h^{(1D)}(x) \psi_g^{(1D)}(y), \quad d = 1,2,\ldots,6ψd(2D)​(x,y)=ψh(1D)​(x)ψg(1D)​(y),d=1,2,…,6

其中 {ψh,ψg}\{\psi_h, \psi_g\}{ψh​,ψg​} 是一维复小波的实部和虚部的组合。

这6个方向对应于：±15°, ±45°, ±75°，提供了比实小波更好的方向选择性。

重构公式考虑了复小波的特殊性：

f(x,y)=Re[∑j,k,dWj,k(d)ψj,k(d)(x,y)]f(x,y) = \text{Re}\left[\sum_{j,k,d} W_{j,k}^{(d)} \psi_{j,k}^{(d)}(x,y)\right]f(x,y)=Re​j,k,d∑​Wj,k(d)​ψj,k(d)​(x,y)​

DTCWT的冗余度仅为2倍（1D）和4倍（2D），远低于连续小波变换的高冗余度。

小波基的构造原理

小波基的构造核心基于多分辨率分析理论和滤波器组设计的深度结合。通过双尺度方程，小波设计问题转化为满足复杂约束条件的滤波器设计问题。

正交性约束

对于正交小波，低通滤波器 H(ω)H(\omega)H(ω) 必须满足正交性条件：

∣H(ω)∣2+∣H(ω+π)∣2=1|H(\omega)|^2 + |H(\omega + \pi)|^2 = 1∣H(ω)∣2+∣H(ω+π)∣2=1

这等价于时域约束：

∑n∈Zhnhn+2k=δk,0\sum_{n \in \mathbb{Z}} h_n h_{n+2k} = \delta_{k,0}n∈Z∑​hn​hn+2k​=δk,0​

更一般地，互补滤波器组需要满足完美重构条件：

H(ω)H~(ω)+G(ω)G~(ω)=1H(\omega)\tilde{H}(\omega) + G(\omega)\tilde{G}(\omega) = 1H(ω)H~(ω)+G(ω)G~(ω)=1

H(ω)H~(ω+π)+G(ω)G~(ω+π)=0H(\omega)\tilde{H}(\omega + \pi) + G(\omega)\tilde{G}(\omega + \pi) = 0H(ω)H~(ω+π)+G(ω)G~(ω+π)=0

其中 H~(ω)\tilde{H}(\omega)H~(ω) 和 G~(ω)\tilde{G}(\omega)G~(ω) 分别是合成低通和高通滤波器。

消失矩约束

p阶消失矩条件转化为频域中的零点约束：

H(k)(π)=0,k=0,1,…,p−1H^{(k)}(\pi) = 0, \quad k = 0, 1, \ldots, p-1H(k)(π)=0,k=0,1,…,p−1

这意味着 H(ω)H(\omega)H(ω) 在 ω=π\omega = \piω=π 处具有p阶零点，可写成：

H(ω)=(1+e−iω2)pQ(ω)H(\omega) = \left(\frac{1 + e^{-i\omega}}{2}\right)^p Q(\omega)H(ω)=(21+e−iω​)pQ(ω)

其中 Q(ω)Q(\omega)Q(ω) 是满足互补约束的多项式：

∣Q(ω)∣2+∣Q(ω+π)∣2=2|Q(\omega)|^2 + |Q(\omega + \pi)|^2 = 2∣Q(ω)∣2+∣Q(ω+π)∣2=2

正则性分析

小波函数的Hölder正则性 α\alphaα 与滤波器的性质密切相关。对于Daubechies小波，正则性可通过以下方程估计：

α=inf⁡ω≠0log⁡∣H(ω)∣log⁡∣ω∣\alpha = \inf_{\omega \neq 0} \frac{\log|H(\omega)|}{\log|\omega|}α=ω=0inf​log∣ω∣log∣H(ω)∣​

更精确的正则性估计涉及过渡算子 TTT 的谱半径：

T[f](x)=∑khkf(2x−k)T[f](x) = \sum_{k} h_k f(2x - k)T[f](x)=k∑​hk​f(2x−k)

正则性指数满足：

α=−log⁡2ρ(T∣V)\alpha = -\log_2 \rho(T|_{V})α=−log2​ρ(T∣V​)

其中 VVV 是适当的函数空间，ρ\rhoρ 表示谱半径。

双正交小波构造

双正交小波放松了正交性约束，允许构造对称的小波函数。设计方程组变为：

H~(ω)=G(−ω+π)‾H(−ω+π)‾\tilde{H}(\omega) = \frac{\overline{G(-\omega + \pi)}}{\overline{H(-\omega + \pi)}}H~(ω)=H(−ω+π)​G(−ω+π)​​

G~(ω)=−H(−ω+π)‾G(−ω+π)‾\tilde{G}(\omega) = -\frac{\overline{H(-\omega + \pi)}}{\overline{G(-\omega + \pi)}}G~(ω)=−G(−ω+π)​H(−ω+π)​​

结合Bezout等式：

H(ω)H~(ω)+H(ω+π)H~(ω+π)=1H(\omega)\tilde{H}(\omega) + H(\omega + \pi)\tilde{H}(\omega + \pi) = 1H(ω)H~(ω)+H(ω+π)H~(ω+π)=1

Cohen-Daubechies-Feauveau构造法通过因式分解求解：

P(z)+z−NP(z−1)=2z−N/2P(z) + z^{-N}P(z^{-1}) = 2z^{-N/2}P(z)+z−NP(z−1)=2z−N/2

其中 P(z)=H(z)H~(z−1)P(z) = H(z)\tilde{H}(z^{-1})P(z)=H(z)H~(z−1)，NNN 是滤波器长度。

提升方案

第二代小波通过提升方案（Lifting Scheme）构造，包含三个基本步骤：

分裂（Split）：将信号分为偶数和奇数样本预测（Predict）：dj(1)=dj(0)−P(sj(0))d_j^{(1)} = d_j^{(0)} - P(s_j^{(0)})dj(1)​=dj(0)​−P(sj(0)​)更新（Update）：sj(1)=sj(0)+U(dj(1))s_j^{(1)} = s_j^{(0)} + U(d_j^{(1)})sj(1)​=sj(0)​+U(dj(1)​)

提升算子可表示为矩阵形式：

(s(1)d(1))=(1U01)(10−P1)(s(0)d(0))\begin{pmatrix} s^{(1)} \\ d^{(1)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & U \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -P & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s^{(0)} \\ d^{(0)} \end{pmatrix}(s(1)d(1)​)=(10​U1​)(1−P​01​)(s(0)d(0)​)

这种构造方法具有完美重构性，逆变换通过逆矩阵实现：

(s(0)d(0))=(10P1)(1−U01)(s(1)d(1))\begin{pmatrix} s^{(0)} \\ d^{(0)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ P & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -U \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s^{(1)} \\ d^{(1)} \end{pmatrix}(s(0)d(0)​)=(1P​01​)(10​−U1​)(s(1)d(1)​)

多小波理论

多小波通过多个尺度函数和小波函数实现，矩阵双尺度方程为：

Φ(t)=2∑kHkΦ(2t−k)\Phi(t) = \sqrt{2} \sum_k \mathbf{H}_k \Phi(2t - k)Φ(t)=2​k∑​Hk​Φ(2t−k)

Ψ(t)=2∑kGkΦ(2t−k)\Psi(t) = \sqrt{2} \sum_k \mathbf{G}_k \Phi(2t - k)Ψ(t)=2​k∑​Gk​Φ(2t−k)

其中 Φ(t)=[ϕ1(t),ϕ2(t),…,ϕr(t)]T\Phi(t) = [\phi_1(t), \phi_2(t), \ldots, \phi_r(t)]^TΦ(t)=[ϕ1​(t),ϕ2​(t),…,ϕr​(t)]T，Hk\mathbf{H}_kHk​ 和 Gk\mathbf{G}_kGk​ 是 r×rr \times rr×r 矩阵。

正交性条件推广为：

∑kHkHk+2lT=δl,0I\sum_k \mathbf{H}_k \mathbf{H}_{k+2l}^T = \delta_{l,0} \mathbf{I}k∑​Hk​Hk+2lT​=δl,0​I

这种构造允许同时实现正交性、对称性、紧支撑和高阶消失矩等理想性质。